第一、二型曲面积分:投影、高斯公式补面挖点、斯托克斯公式运用

2022年7月2日 JDG vs TT|电竞入口 No Comments

两类线面积分一直都是考查重点,主要考查各类线面积分的计算,这部分重点是第二类积分的计算、平面曲线积分与路径无关的判定和相关计算与证明,要熟练掌握与格林公式、高斯公式相关的各类题型及思路、方法、技巧等。第一类积分考查相对较少,且难度不大。重点在第Ⅱ类线面积分的计算。

之前的文章讲了有关第Ⅰ、Ⅱ型曲线积分的相关方法,主要为格林公式,变换路径等,详见上篇文章。今天讲讲第Ⅰ、Ⅱ型曲面积分的相关知识。主要方法有:第Ⅰ类曲面积分直接法(一投二代三换),第Ⅱ类曲面积分直接法(一投二代三定号),巧用奇偶性、对称性化简,利用边界可代入,利用形心公式,利用高斯公式,补面、挖点用高斯公式,斯托克斯公式等。

1.第Ⅰ型曲面积分(对面积的曲面积分),与积分曲面方向无关,物理意义为曲面片的质量。

2.第Ⅱ型曲面积分(对坐标的曲面积分),有正负方向,与积分曲面方向有关,物理意义为流体流向曲面一侧的流量,即一个向量函数(例如速度场v(x,y,z))通过某有向曲面的通量。所以计算时应当注意方向,补面应当标注方向。

使用高斯公式之前应当观察积分区域是否为光滑有向封闭曲面,被积函数在封闭曲面所围空间区域Ω上一阶连续偏导数是否存在,还要看看Ω内是否存在奇点(无定义)。若不是封闭曲面,封闭后再用高斯公式,另外要相应减去补的面的积分,若存在奇点,则挖去后在复连通区域使用高斯公式。

作者水平有限,读者思维无限,若有细节错误请见谅,若有好的想法,欢迎评论区留言。

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