数学上最复杂的公式——纳维斯托克斯方程到底困难在哪儿?

2022年7月2日 JDG vs TT|电竞入口 No Comments

1775年,欧拉大神决定换个口味,去研究了一个与力学相关的数学领域——流体力学。他从最基本的无粘性流体的特性开始,仔细研究了无粘性流体的运动与动量变化的关系,于是写成一本《流体运动的一般原理》。书里留下了一个无粘性流体力学领域最重要的基础方程。这本书也是流体力学的开山之作。

既然欧拉强调这是以无粘性流体的研究,那么就肯定存在有粘性流体。事实上,自然界存在的所有流体都是有粘性的,无非就是粘性大小差别而已。甚至连作为道路材料的沥青也是流体,只不过粘性比水要大数百亿倍而已。显然欧拉研究的是比较理想的情况,类似于伽利略关于小球运动的理想实验。这项工作肯定是需要有后人来进行补充的。

1821年,法国著名工程师克劳德-路易·纳维首先推广了欧拉关于流体力学的理论,纳威此时考虑了分子间的作用力,并在方程中加了一个粘性常数。然而这仿佛还不够,1845年,爱尔兰数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士从连续统的模型出发,给出了具有2个粘性常数的流体力学方程,这也就是现在鼎鼎大名的纳维斯托克斯方程,N-S方程。来看看这个方程长啥样。

首先这个方程是用来研究液体或者空气之间是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(力)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用,能告诉我们液体有多粘。

用到更加实际的例子中,比如关于飓风行程过程,洋流漂流,甚至大到恒星的运转度可以通过这个方程来导出其中的运动规律。说到说到复杂的流体力学问题,比如,机翼升力,厄尔尼诺现象形成原因等等。

大家也注意到了,N-S方程不再是代数公式表示的了,它用微分之间的变化率关系来表达流体速度,压力,密度,粘性等等变量。从理论上,这个方程可以解决很多极端复杂的流体力学难题。

这套公式诞生已经过百年,但是目前科学界对它知之甚少,你可能在哪儿看到过,N-S方程是一个很著名的数学难题。那么在数学上这个问题难在何处呢?主要在于这个方程在什么情况下有解,以及这些解的光滑性到底如何?如果要深究这个方程,那便不是这么短的篇幅能完成的了。我们只要知道,如果我们破解了这个方程的全部秘密,那么,在气动布局或者湍流研究以及任何流体方面的研究我们都会更进一步,甚至可以不动用昂贵的风洞实验就可以通过计算来得到最终的结果,想想都觉得激动啊。不过现在这一切都为时过早。

正是因为N-S方程在流体力学上无可比拟的重要性,2000年5月21日,美国克莱数学研究所把这个问题列为千禧年七大数学难题之一,与黎曼猜想,NP猜想,庞加莱猜想并列,每个问题奖励100万美元。如果距离千禧年数学难题公布已经过去20年了,也只有庞加莱猜想被完全攻克,不知道本世纪能不能再出现一位像佩雷尔曼的绝世高手。

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